ITALIANO

Richiami di definizioni e teoremi fondamentali di teoria della misura di probabilità. Costruzione di processi stocastici. Il moto Browniano. Medie condizionate con esempi di applicazione. Tempi d'arresto. Martingale e risultati di convergenza. Esempi. Leggi notevoli del moto browniano. Processi di Markov. Diffusioni, semigruppi e generatori. Integrazione stocastica. Formula di Ito e cenni alle equazioni differenziali stocastiche.

Paolo Baldi, Stochastic Calculus, An Introduction Through Theory and Exercises, Springer. Sono disponibili appunti e slides del corso del docente.

L'insegnamento intende rafforzare le conoscenze di base del Calcolo delle Probabilità (rendendo allo stesso tempo maggiormente omogenea la classe) mediante la riproposizione, a carattere di marcato formalismo, di contenuti fondamentali. Si forniscono concetti, contenuti e strumenti, quali definizioni, proprietà e teoremi riguardanti medie condizionate, tempi di arresto, martingale, moto browniano, processi di Markov e integrazione stocastica, che rappresentano la base sia per uno studio più approfondito della teoria sia per un consapevole utilizzo nelle applicazioni dei processi stocastici.
Il percorso formativo è orientato all'apprendimento della Teoria dei processi stocastici e a trasmettere le capacità operative necessarie per applicare concretamente le conoscenze tecnico-metodologiche acquisite di analisi e calcolo stocastico, nonché di fornire gli strumenti utili per lo studio e lo sviluppo di modelli stocastici.
Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà dimostrare di essere in grado di identificare il processo stocastico e le sue proprietà per la costruzione di modelli specifici, nonché dovrà essere in grado di interpretare e descrivere compiutamente i risultati analitici ottenuti.

Elementi di base di un corso di calcolo di probabilità e statistica previsto in un corso di laurea triennale.

Lezioni frontali.

Prova orale con risoluzione di qualche esercizio o prova orale con discussione di un elaborato progettuale con quesiti teorici ed esercizi.

Ricevimento studenti: dopo ogni lezione o su appuntamento.

Contenuti del corso: PROCESSI STOCASTICI (2020/2021) Con riferimento al libro di Paolo Baldi: “Stochastic Calculus, An Introduction Through Theory and Exercises”, Springer. CAPITOLO 1- Elementi di probabilità 1.1- Spazi di probabilità, variabili casuali 1.2- Varianza, covarianza, legge di una v.a. 1.3- Indipendenza, misura del prodotto 1.4- Probabilità su R^m 1.5- Convergenza di probabilità e variabili casuali 1.6- Funzioni caratteristiche 1.7- Leggi gaussiane 1.8- Simulazione 1.9- Argomenti di teoria della misura CAPITOLO 2- Processi stocastici 2.1- Fatti generali 2.2- Teorema di continuità di Kolmogorov 2.3- Costruzione di processi stocastici CAPITOLO 3- Moto browniano 3.1- Definizione e fatti generali 3.2- La legge di un processo continuo, misura di Wiener 3.3- Regolarità dei cammini 3.4- Comportamento asintotico 3.5- Tempi di arresto 3.6- Il teorema di arresto CAPITOLO 4 – Probabilità condizionata 4.1- Condizionamento 4.2- Aspettative condizionate 4.3- Leggi condizionali. CAPITOLO 5 – Martingale 5.1- Definizioni e fatti generali 5.2- Martingale a tempo discreto 5.3- Martingale a tempo discreto: convergenza a.s. 5.4- Disuguaglianza di Doob; convergenza Lp 5.5- Integrabilità uniforme e convergenza in L1 CAPITOLO 6 - Processi di Markov 6.1 Definizioni e fatti generali 6.2 Le proprietà di Feller e di Markov forte 6.3 Semigruppi, generatori, diffusioni 6.4 Martingala a tempo continuo CAPITOLO 7-L'integrale stocastico 7.1- Introduzione 7.2- Processi elementari 7.3- L'integrale stocastico 7.4- La proprietà di martingala 7.5- L'integrale stocastico in M^2_loc 7.6- Martingale locali CAPITOLO 8-Calcolo stocastico 8.1- La formula di Ito CAPITOLO 9- Equazioni differenziali stocastiche 9.1 - Definizioni 9.2 - Esempi 9.3 - Una stima a priori 9.4 - Esistenza per coefficienti continui di Lipschitz 9.5 - Localizzazione ed esistenza per coefficienti localmente Lipschitziani 9.6 - Unicità nella legge Gli esercizi di tutti i capitoli precedenti sono inclusi anche nel programma del corso.

Italian

Review of definitions and fundamental theorems of probability measure theory. Construction of stochastic processes. The Brownian motion. Conditioned averages with application examples. Stopping times. Martingales and convergence results. Examples. Main laws of Brownian motion. Markov processes. Diffusions, semigroups and generators. Stochastic integration. Ito's formula and preliminaries on stochastic differential equations

Paolo Baldi, Stochastic Calculus, An Introduction Through Theory and Exercises, Springer. Notes and slides are also provided.

The course intends to recover the basic knowledge of Probability theory (by making them more complete and rigorous) through the re-proposition, in a marked formalism, of fundamental contents. Concepts, contents and tools are provided, such as definitions, properties and theorems regarding conditional means, stopping times, martingale, Brownian motion, Markov processes and stochastic integration, which represent the basis both for a more in-depth study of the theory and for a conscious use in the applications of stochastic processes.
The training program focuses on learning the Theory of Stochastic Processes and providing the operational skills needed to concretely apply the acquired technical and methodological knowledge of stochastic analysis and calculation, as well as providing useful tools for the study and development of stochastic models.
At the end of the course, students will demonstrate the ability to identify stochastic processes and their properties for the construction of specific models, as well as being able to fully interpret and describe the analytical results obtained.

Basic notions of probability and statistics.

Lectures in presence.

Oral exam with the solution of some exercises or oral exam with discussion of a project including theoretical questions and exercises.

Student assistance: after each lecture or by appointment.

Contents of the course: STOCHASTIC PROCESSES (2020/2021) Referring to the book of Paolo Baldi: “Stochastic Calculus, An Introduction Through Theory and Exercises”, Springer CHAPTER 1- Elements of Probability 1.1-   Probability spaces, random variables 1.2-   Variance, covariance, law of a r.v. 1.3-   Independence, product measure 1.4-   Probabilities on Rm 1.5-   Convergence of probabilities and random variables 1.6-   Characteristic functions 1.7-   Gaussian laws 1.8-   Simulation 1.9-   Measure-theoretic arguments CHAPTER 2- Stochastic Processes 2.1- General facts 2.2- Kolmogorov’s continuity theorem 2.3- Construction of stochastic processes   CHAPTER 3- Brownian Motion 3.1- Definition and general facts 3.2- The law of a continuous process,Wiener measure 3.3- Regularity of the paths 3.4- Asymptotics 3.5- Stopping times 3.6- The stopping theorem   CHAPTER 4 – Conditional Probability 4.1- Conditioning 4.2- Conditional expectations 4.3- Conditional laws   CHAPTER 5 –Martingales 5.1- Definitions and general facts 5.2- Discrete time martingales 5.3- Discrete time martingales: a.s. convergence 5.4- Doob’s inequality; Lp convergence, the p > 1 case 5.5- Uniform integrability and convergence in L1   CHAPTER 6 - Markov Processes 6.1 Definitions and general facts 6.2  The Feller and strong Markov properties 6.3  Semigroups, generators, diffusions 6.4 Continuous time martingale CHAPTER 7-The Stochastic Integral 7.1- Introduction 7.2- Elementary processes 7.3- The stochastic integral 7.4- The martingale property 7.5- The stochastic integral in M^2_loc 7.6- Local martingales  CHAPTER 8-Stochastic Calculus 8.1- Ito’s formula   CHAPTER 9- Stochastic Differential Equations 9.1 - Definitions 9.2 - Examples 9.3 - An a priori estimate 9.4 - Existence for Lipschitz continuous coefficients 9.5 - Localization and existence for locally Lipschitz coefficients 9.6 - Uniqueness in law The exercises of all above chapters are also included in the program of the course.